电赛训练笔记——电容测量篇
题目要求
- 使用单片机UART或LCD屏显示测量结果
- 测量范围10nF~100nF
- 测量绝对误差不大于1nF
参考方案分析
老师给我们提供了一个参考方案——用555搭建震荡器，通过测555输出频率来求解电容量。虽然笔者并不打算用这个方案，但还是分析一下好了
讲道理，这玩意简单到我懒得分析原理了，但不分析原理好像又不太能讲明白为啥不用....
简单分析一下好了。首先，555的内部结构长这样:
如果把这玩意替换到上面的图里，555无稳态振荡器的原理就很明了了：
- Stage1: 上电初期，RS触发器的输出为0，DISCH和GND间的BJT关断，此时 \(V_{cc}\) 通过 \(R_{1}\)和\(R_{2}\)给C充电
- Stage2: 充电至\(U_{C} > \frac{1}{3}V_{cc}\), 此时，下面的比较器输出低电平，S端被置0，但R端依然为0，RS触发器状态不变
- Stage3: 充电至\(U_{C} > \frac{2}{3}V_{cc}\)，此时，上面的比较器输出高电平，R端被置1，而S端在Stage2中就成了0，RS触发器的输出为1，此时DISCH和GND间BJT导通，电容通过\(R_{2}\)放电
- Stage4: 放电至\(U_{C} < \frac{2}{3}V_{cc}\)，此时，上面的比较器输出低电平，R端被置0，此时S依然为0，RS触发器输出仍然为1
- Stage5: 放电至\(U_{C} < \frac{1}{3}V_{cc}\)，此时，下面的比较器输出高电平，S端被置1，此时RS触发器状态变化，输出翻转到0，状态回到Stage1
根据上面的过程，我们可以很容易的计算NE555的输出频率和占空比。由于稳定下来之后\(U_{C}\)一直介于\(\frac{1}{3}V_{cc}\)和\(\frac{2}{3}V_{cc}\)之间，对于充电过程，有： \[ t_{charge} = (R_{1} + R_{2})C\ln{\frac{\frac{2}{3}V_{cc} - V_{cc}}{\frac{1}{3}V_{cc} - V_{cc}}} \] \[ t_{charge} = (R_{1} + R_{2})C\ln{2} \] 同理可得： \[ t_{discharge} = R_{2}C\ln{2} \] 所以有： \[ f = \frac{1}{t_{charge} + t_{discharge}} = \frac{1}{(R_{1} + R_{2})C\ln{2} + R_{2}C\ln{2}}\] \[ DutyCycle = \frac{t_{charge}}{t_{discharge} + t_{charge}} = \frac{(R_{1} + R_{2})C\ln{2}}{(R_{1} + R_{2})C\ln{2} + R_{2}C\ln{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} + 2R_{2}}\]
Seems good! 然而这个电路有其不可避免的问题： - 首先，NE555本身飘的很厉害。 - 其次，这个电路里出现了\(\ln{2}\)，这是个无理数。在处理数据时必然存在浮点数精度丢失的问题。
于是——就引出了我的方案：V-I变换器恒流充电 + STM32模拟看门狗
我的方案
硬件设计 (V-I变换器)
先设计好V-I变换器的拓扑，笔者使用双反馈结构的V-I变换器，电路如下:
事实上，这个电路依然非常简单。\(V_{Trim}\)是用来调零的信号，在分析阶段我们可以认为它就是0（不知道什么是调零的戳这里）。我们先约定一些记号：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(U_{in}\) | \(V_{input+}\) 节点电压 |
| \(U_{1}A_{-}\) | \(U_{1}A\) 反相端电压 |
| \(U_{1}A_{+}\) | \(U_{1}A\) 同相端电压 |
| \(U_{1}A_{Out}\) | \(U_{1}A\) 输出电压 |
| \(U_{1}B_{+}\) | \(U_{1}B\) 同相端电压 |
| \(U_{out}\) | \(V_{output}\) 节点电压 |
| \(I_{out}\) | \(R_{5}\)和\(C_{3}\) 的电流 |
对于这个电路，由运放定律可知,在稳态下，必然有：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{+} = U_{1}A_{-} \end{equation} \]
我们分析 \(U_{1}A_{-}\)，很容易有(电阻分压)：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{-} = U_{1}A_{Out} \times \frac{R_2}{R_2 + R_4} \end{equation} \]
然后看 \(U_{1}A_{+}\)，同理有：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{+} = \left(U_{1}B_{Out} - U_{in}\right) \times \frac{R_1}{R_1 + R_3} \end{equation} \]
由于 \(U_{1}B\) 是跟随器，有：
\[ \begin{equation} U_{1}B_{Out} = U_{Out} \end{equation} \]
代回式(3)，有：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{+} = \left(U_{Out} - U_{in}\right) \times \frac{R_1}{R_1 + R_3} \end{equation} \]
联立式(1)(2)(5)，有：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{Out} \times \frac{R_2}{R_2 + R_4} = \left( U_{Out} - U_{in} \right) \times \frac{R_1}{R_1 + R_3} \end{equation} \]
对于我们的电路而言：
\[ R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 1K\Omega \]
故而，式(6)稍作整理有：
\[ \begin{equation} U_{1}A_{Out} = U_{out} - U_{in} \end{equation} \]
对于\(R_5\)有：
\[ \begin{equation} I_{out} = \frac{U}{I} = \frac{U_{1}A_{Out} - U_{out}}{R_5} \end{equation} \]
(7)带入(8)，有： \[ I_{Out} = \frac{U_{in}}{R_5} \]
至此，V-I变换器的理论计算算是完成了，接下来就是\(R_5\)取值问题。这个电路的\(V_{input}\)将连接到STM32F407的DAC上，故而\(U_{in} \in \left[ 0, 3.3 \right] V\) 。对于本题，笔者并不满足于题目的要求，笔者希望电路至少能测量1nF~1uF的电容，并且充电时间介于1mS和60mS之间(充电时间限制来自于软件，后文会提到)。很容易得出充电电流应该在 1uA到55uA之间。不妨取3.3V时满幅输出为60mA，则\(R_5\)应为\(55K\Omega\)，在\(E_{24}\) 系列电阻中取最接近的 \(56K\Omega\)，满幅输出约为58.93uA，仍然满足要求。在输出为1uA时，DAC输出是560mV不算过小。所以，\(R_5\)取\(56K\Omega\)是合适的。
至此，我们的硬件设计完成了。接下来就是Happy Coding。
软件设计
软件部分相对简单，直接给出设计思路好了。开启一个TIM提供1uS的定时中断，并设置一个累加器记录从充电开始到充电结束的时间。ADC开启模拟看门狗，上界设置为4095，这样在ADC输入达到3.3V时将触发模拟看门狗中断，在这个中断里关闭TIM的定时中断，并通过累加器的值计算电容量。